determinantes *(SUMA Y RESTA)*

x+2y+z=8...1
-x+3y-2z=1...2
3x+4y-7z=10...3

 x+2y+z=8
-x+3y-2z=1
    5y  -z =9...4

la ecuacion multiplicada por 3                    -13(5y-z=9)
 3(-x+3y -2z=1)
-3x+9y-6z=3                                             -65y+13z=-117
     13y-132=13...5                                     -52y =104

DETERMINANTES*

*metodo de determinantes*

el metodo de resolucion de un sistema de ecuaciones mediante determinantes se llama regla de cramer. u  determinante es un arreglo matematico que consta de cierto numero de renglones & columnas.
 regla de cramer:
3-5
2-4  renglones
columnas

ete determinante es de segundo orden & esta formado por cuatro numeros 3-5,2y4 acomodados en un orden especial.3-5y 2-4                 3 2)
                                                    3-5)                       -5 4) columnas
                                                    2-4)   renglones
 resolver un determinante es como resolver una multiplicacion o una suma las flechas que van hacia abajo conservan su signo las flechas que van hacia arriba se quita el signo o cambia el resultado.
3-5=10 10+12=22
2 4=12

por ultimo se suman los resultados obtenidos:

cada uno de los arreglos tien un valor para obtenerlo se resta al producto de la diagonal descendente a la flecha que baja el de la diagonal ascendente la flecha que sube.
para obtener el resultado de x & y se divide del determinante x entre el determinante del sistema & para obtener y entre el determinante el determinante del sistema.


SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE 3*3

(SUMA Y RESTA)

1.-despejar una variable en una ecuacion & sustituirlo en las otras

3.- resolver el nuevo sistema de ecuaciones de 2*2

3x-y-z=0...1

x-2y+z=1...2

x+3y-z=2...3

3x-y=z

z=3x-y

x-2y+z=1

x-2y+(3x-y)=1

4x-3y=1

x+3y-z=2

x+3y-(3x-y)=2

x+3y-3x+y=2

-2x+4y=2

z=3x-y

z(3)1-2

z=2

(1,1,2)

Método* Igualación*

Consiste  en despejar la misma variable de las 2 ecuaciones para asi obtener una sola ecuacion de 1er grado.
(ecuaciones 1y2)
1.-x+3y+7=0
2x-y+7=0
despejar "x" o "y" de las 2 ecuaciones...*pero recordando que siempre debe de ser la misma variable de las 2 ecuaciones*
despejo "x"de las 2 ecuaciones y se obtienen las ecuaciones 3 y 4
3.-x=-3y-7
4.-x= y-7
       2
se igualan los dos despejes
-3y-7= y-7
             2
para no hacerlo con con una division despejamos "2" a la otra 4 ecuación 
y queda...
2(-3y-7)= y-7
se resuelve y queda asi.
-6y-14=y-7
se despeja "y"
-6y-y= -7+14
-7y=7
y=7/-7
y= -1
resultado "y" = -1 
se sustituye "y" en la 3 o 4 ecuación para q nos de "x"
x= -1-7
        2
x= -8
       2
x= -4


los resultados son "y" igual a -1 y "x" igual a -4

Método* Sustitución*

Los métodos algebraicos para resolver ecuaciones lineales de 2x2 consiste en reducir el sistema a una ecuacion.
       Tenemos 3 métodos
            ° SUMA Y RESTA
            ° SUSTITUCIÓN
            ° IGUALACIÓN        
            ° DETERMINANTES
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
1.- DESPEJAR UNO DE LAS INCÓGNITAS EN FUNCIÓN DE LA OTRA
2.- SUSTITUIR LA INCÓGNITA DESPEJADA EN LA OTRA ECUACIÓN
3.- DESPEJAR LA INCÓGNITA RESOLVIENDO LA ECUACIÓN RESULTANTE
4.- ENCONTRAR EL VALOR DE LA INCÓGNITA DESPEJADA INICIALMENTE SUSTITUYENDO EL VALOR ENCONTRADO EN CUALQUIERA DE LAS ECUACIONES.
(ecuaciones una y dos)
1. x-2y=7
2. 3x+y=35
se despeja "x" o "y" de cualquiera de las 2 ecuaciones
....en este caso vamos a despejar "x" de la ecuación 1.....
despeje que nos da la ecuación 3 
3.-x=7+2y
la ecuación 3 se sustituye en la ecuación 2 (osea en la ecuación que no se despejo)
sustitución que nos da la ecuación 4
3(7+2y)+y=35
que da...
21+6y+y=35
sumas las "y"
21+7y=35
despejas "7y"
7y=35-21
resuelves
7y=14
despejas "y"
y=14/7
y=2
resultado 
y=2 
sustituimos la "y" en cualquiera de las ecuaciones 1 y 2
x-2(2)=7
x-4=7
se despeja "x"
x=7+4
resultado
x=11
ASI QUE "Y" DA 2 Y "X" 11

Ecuaciones

Una igualdad entre2 expresiones algebraicas separadas por el signo(=)
        7x+6=x+3
Incógnitas
  Son las literales (x,y,q) que intervienen en las expresiones algebraicas, que forman la ecuación y cuyos valores numéricos se desea encontrar
Dominio de definición de una ecuación
  Es el conjunto de los números reales que pueden formar las incógnitas de una ecuación
Identidad
  Es todo igualdad que se verifica para todos los valores del dominio de las incógnitas
Ecuación condicional
  Es toda ecuación que es valida solo para ciertos valores de las incógnitas                                                          
Ecuaciones equivalentes
  2 o mas ecuaciones son equivalentes cuando tienen el mismo conjunto solución

Factorizacion

Es escribir una expresión como producto. la técnica mas simple es encontrar un factor común en todos los términos.
  PROCEDIMIENTO GENERAL
1.- Buscar el factor común
2.-Examinar el número de términos
    a)2 términos:observar si es diferencia de cuadrados
    b)3 términos: ver si es trinomio cuadrad
3.- Factorizar las veces que sea necesario
   eJEMPLO: a²-b²=(a-b)(a+b)...diferencia de cuadrados
                 a²+-2ab+b²=(a+-b)²...termino cuadrado perfecto




FACTORIZACION DE TRINOMIOS
 AL MNULTIPLICAR BINOMIO DE UNA VARIABLE SE OBTIENE UN TRINOMIO 
  PRODUCTO.
(X+2)(X+3)=X²+5X+6

Binomios con termino común

(a+b)⁰=1
(a+b)¹=a+b
(a+b)²=a²+2ab+b²
(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
(a+b)⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴
     Formula
(X+Y)^N=X^N+NX^N-1Y+N(N-1)/2X^N-2Y+N(N-1)/2 (N-2)X^N-3+......
+N(N-1)/2(N-2)/3...N-(N-2)/N-1X^N-(N-1)Y^N-1+Y^N

Exponente o potencia

Toda número elevado a una potencia implica la multiplicación del mismo tantas veces como lo diga el exponente
   Ejemplo(3)=3x3=9
              (3)=3x3x3=27
              (3)=3x3x3x3=81


Reglas de los exponentes
 1.- La multiplicacion de 2 cantidades de la misma base es igual a tomar la misma base y sumar
       Ejemplo: a^{m .} aⁿ=a^m+n


 2.- La division de 2 cantidades de la misma base. es igual a tomar la misma base y restar los exponentes
      Ejemplo: a^m/aⁿ=a^m-n
 3.- La multiplicacion de 2 o mas cantidades cuales quiera esta elevada a una potencia, todos los factores toman el mismo exponente
      Ejemplo:  (a por b)^{m es igual} a^mb^m
 4.- Si la division de 2 cantidades cuales quiera esta elevada a una potencia tanto el numerador como el denominador toman el mismo exponente
      Ejemplo: (a/b)^m= a^m/b^m
 5.- Si una expresión exponencial se eleva a ua potencia, se toma la misma base y se multiplican os exponentes
      Ejemplo: (a^m)ⁿ=a^m.n
 6.- Toda la expresión con exponentes negativo se anula y es igual a su reciproco
      Ejemplo:
 7.- Toda cantidad a la potencia cero es = a 1
      Ejemplo: a^o=1
 8.- Una numero elevado a la una potencia fraccionaria es igual a la raiz d e se número
      Ejemplo: a^m/n= es igual a la raix cuadrada de an m

Reducción de Términos Semejantes

Consiste en sustituir 2 o mas términos semejantes por uno solo, que resulta de la suma o resta algebraica de sus coeficientes numéricos multiplicados npor su parte literal.
        1) tienen el mismo signo
                5a+3a= 8a              -7a-7a=-14a     -3a-7a=-10a
        2) reducción de términos semejantes que tienen diferente signo
                -10m+7m=-3m         5x-7x= -2x         -7w+7w= 0
        3) reducción de 3 términos o mas semejantes
                a) Reducir a un solo término todos los que tienen signo +
                b) reducir a un solo termino todos los que tienen signo -
                c) aplica paso 2
                              a)3a+a=4a           b) -8a-6a= -14a      C) 4a-14a=-10a
      

Transformaciones algebraicas

Expresión algebraica:
    Cualquier expresión que indica una o varias operaciones algebraicas
          Ejemplo: 7x-6
                       3a+y

Termino algebraico

      Un término algebraico es una expresión compuestas por números y letras; relacionadas entres si, mediante las operaciones de suma

          Ejemplo: 5x

                       3ab

Elementos de un termino:

       EL SIGNO                         (+,-)

       LA PARTE LITERAL             (M,N,O,U)

       EL COEFICIENTE NUMÉRICO (5,6,3,1)

Grado:

    El grado de un termino es la suma de los exponentes de sus factores literales.

        Ejemplo. 9n1

                     

Termino semejante:

   Dos o mas términos elevados en los mismos exponentes:

        Ejemplo: 3b,b

                     5xy,98xy

Multiplicación de polinomios

Polinomio por polinomio

          (a+b)(x+y+z)

         (a+b)(x)=ax+bx

         (a+b)(y)=ay+ax

         (a+b)(z)=az+bz                      ax+bx+ay+by+az+bz

Monomio por polinomio

     Para efectuar esta operación se utiliza la propiedad distributiva de la multiplicación

        Ejemplo: a(b+c+d+e)= ab+ac+ad+ae

                     3x²(2x³-7x²-x+6)

                     3x²(2x³)=6x⁵

                     3x²(-7x³)=-21x⁴

                     3x²(-x)=-3x³

                     3x²(6)=18x²

Monomio por monomio

  En la multiplicacion de 2 o mas monomios se aplican las reglas de los signos y leyes de los exponentes y seguimos los siguientes pasos

      1.- Se determina el signo del producto

      2.- Se multiplican por los coeficientes numéricos

      3.- Se multiplican las partes literales

            Ejemplo:(3x²y)x(4xy⁴)=+12x²⁺¹ y¹⁺⁴

                                                               ⁼ +12x³y⁵

                (-6m² n⁴y)(-2mn²y⁴)=12m³n⁶y⁵

SERIES & SUCESIONES GEOMÉTRICAS

Las sucesiones geométricas sonsecuencias ordenadas de números que tienen todas con su antecesor la misma razón.

                Sucesión: 2,4,8,16,32
                    Razón:  2  2  2  2  2

Multiplicando cada número por la razón obtienes el siguiente, multiplicandolo varias veces por el primero obtienes cualquiera de ellos.

        Segundo               Tercero                  Cuarto
        4(2)=8                4(2)(2)=16            4(2)(2)(2)=32


FÓRMULA

an=a1r n-1

SERIES GEOMETRICAS

FINITAS ----> r/1            (a1)    (1-rn)
                                     1-r

INFINITAS ----->  a1      
                         1-r

SERIES ARITMÉTICAS

Si sumas los términos de una sucesión finita obtienes una serie.

Sucesión                                   Serie
1,2,3,4,5...                              a1,a2,a3,a4...

a1,a2,a3,a4,a5...                     1+2+3+4+5= 15
(términos)

Serie Sn
1,2,3,4,5
               S5= 1+2+3+4+5
               S5= 15

1,2,3,4....80,81,82,83
               S5= 1+2+3+4+5

S83=1+2+3+4+5...+80+81+82+83

PRIMERA FÓRMULA

a) (a1+an)n               n: siempre será el último término que te den.
         2       
                                            1,2,3,4,5
a1= 1er término
an= último término             S5=(1+5)5
                                                 2
                                              
                                        S5=(6)5
                                                2

                                        S5=30                      S5= 15//
                                              2        
                              
SEGUNDA FÓRMULA

Sn=(2a1+(n-1)d)
             2

Ej: 5,10,15,20,25...,50,55...
                  Suma de los 11 primeros términos

5+10+15+20+25
a1 a2  a3  a4  a5

S11=(2(5)+(11-1)5)11
                  2
S11=(10+(10)(5) )11
                  2
S11=(10+50)11
             2
S11=(60)11
           2
S11=660
         2
S11=330//

SERIES & SUCESIONES

Las sucesiones aritméticas son secuencias ordenadas de números, que tienen todos con su antecesor la misma diferenca (d)

Sucesión: 1,3,5,7,9,11...
      Diferencia: 2,2,2,2,2,2,2...

Sumando la diferencia a cada número obtienes el siguiente, sumandola varias veces al rpimero obtienes cualquiera de ellos.
    
         Segundo                   Tercero                 Cuarto
       1+2(1)= 3              1+2(2)= 5               1+2(3)= 7

Al denotar los términos con una variable, un subíndice indica su lugar, primer término a1, segundo término a2, n-ésimo término an

a5= 1+(2)4=9                                    an= 1+2(n-1)
a6= 1+(2)5=11    

Sucesión aritmética

a1, a2, a3, a4... an

a1, a1+d, a1+2d, a1+3d... a1+(n-1)d

FÓRMULA--------> an= a1+d(n-1) 




EJEMPLO:

Escribe los 5 primeros términos de la sucesión

a1= 1
d= 3


a2= 1+(3)1=4
a3= 1+(3)2=7
a4= 1+(3)3=10
a5= 1+(3)4=13
a6=1+(3)5=16

Razón, Tasa y Proporción.

RAZÓN

Si a,b son números o cantidades con igual cantidad de medida.
           a   es la razón de a - b
        b


TASA         

Si a, b son cantidades con diferente unidad de medida  .
          a es la tasa promedio de a por b.
       b


PROPORCIÓN

La igualdad  a      =      c
                   b               d

es una proporción ad=bc
Cuando 2 razones o 2 tasa son iguales se forma una proporción.

Ejemplo:   $60      $20
                3hr.     1hr.  

Tipos de Fracciones

• Fracciones propias: son aquellas en las que el numerador es menor que el denominador, por lo tanto, son menores que la unidad. En la recta numérica se ubican entre el 0 y el 1.

                              Ejemplo: 2 numerador
                                                 6 denominador

• Fracciones Aparentes: son aquellas en las que el numerador es igual al denominador, por lo tanto son iguales a la unidad.

                              Ejemplo: 6 = 1
                                                 6

• Fracciones Impropias: son aquellas en las que el numerador es mayor que el denominador, por lo tanto, son mayores que la unidad.

                             Ejemplo: 7
                                                6

• Fracciones Decimales: son aquellas en las que el denominador es 10, 100, 1000, etc. Osea la unidad seguida de ceros.

                            Ejemplo: 3      7
                                               10   100

• Fracciones Unitarias: es un número racional escrito en forma de fracción cuyo numerador es 1 y el denominador es un número entero positivo.

                            Ejemplo:  1     1
                                                5     2

• Fracciones Mixtas: número entero y una fracción, combinadas en un mismo número.

                            Ejemplo:  2  3
                                                     4

Números Fraccionarios

1 = Numerador
2    Denominador   <-- siempre es mayor

Los números reales

• Reales: números que utilizamos diariamente.
• Enteros: z (representación)
• Naturales: N (todos los números)
• Fraccionarios: Q 5/4 1/2 etc...